ઝીનો(Zeno of Elea)નો જન્મ 495 B.Cમાં થયો. તેઓ એક ગ્રીક ફિલોસોફર હતાં તેમજ મેથેમેટિકલ પેરાડોક્સ(વિરોધાભાસ) બનાવવા માટે પ્રખ્યાત હતાં. તેમના paradox એ infinity(અનંતતા) ને સમજવા માટે ગણિતશાસ્ત્રીઓની ઘણાં વર્ષો સુધી મદદ કરી. અગર સરળ ભાષામાં કહીએ તો ઝીનો પેરાડોક્સ આપણને કહે છે કે બે ગતિશિલ પદાર્થો ક્યારેય એકબીજાને સ્પર્શી નથી શકતાં. કેવીરીતે? ચાલો જોઇએ.....
-
ધારોકે તમારી અને એક કાચબાની હરિફાઇ યોજાય છે. શર્ત એટલી છે કે કાચબો તમારાથી થોડું આગળથી ચાલવાનું શરૂ કરે છે. હવે જ્યારે આપ કાચબાની original position ઉપર પહોંચો છો ત્યારે કાચબો થોડો આગળ વધી જાય છે. ફરી આપ કાચબાના નવા location ઉપર પહોંચો છો ત્યારે કાચબો ફરી થોડો આગળ વધી જાય છે. આજ concept ઉપર જોવા જઇએ તો આપ ક્યારેય કાચબાથી આગળ નીકળી જ નથી શકતાં. આજ વિષયક થોડું અલગ બીજુ એક ઉદાહરણ.....માનીલો બે પોઇન્ટ છે A અને B. બંન્ને વચ્ચેનું અંતર 1 કિ.મી. છે. અગર કોઇ વ્યક્તિએ પોઇન્ટ A થી B સુધી જવું હોય તો સૌપ્રથમ તેણે 1 કિ.મી.નું અડધુ અંતર કાપવું પડશે એટલેકે 1/2 કિ.મી. જેના માટે કેટલોક સમય લાગશે. હવે જ્યારે તે અડધુ અંતર કાપી નાંખશે, તો તેને બાકી રહેલ અંતરનું પણ અડધુ અંતર કાપવું પડશે એટલેકે 1/4 કિ.મી. ફરીથી થોડો સમય લાગશે. આજ ક્રમ આગળ વધતો જશે. આ રીતે જોવા જઇએ તો આ અંતર ક્યારેય ખતમ નથી થતું. આ અંતર infinite થઇ જશે. આપણને અંતરની અનંત શ્રેણી મળશે(જુઓ ઇમેજ). ટૂંકમાં તે વ્યક્તિ ક્યારેય પોઇન્ટ B સુધી પહોંચી જ ન શકે. દરઅસલ તેમણે રસ્તાને infinite નાના અંતરમાં વિભાજીત કરી નાંખ્યો.
-
આવું કહેવું હતું ઝીનોનું. ભલે આપને આ હાસ્યાસ્પદ લાગતું હોય પરંતુ તેઓ ખોટા પણ નહોતા. ગણિતિક રીતે તેઓ બિલકુલ સાચા હતાં. પરંતુ આવું કઇરીતે શક્ય બને? દેખીતુ છે કે વ્યવ્હારિક રીતે થોડા સમય બાદ તે વ્યક્તિ પોઇન્ટ B ઉપર પહોંચી જ જાય છે અને તમે પણ કાચબાથી આગળ નીકળી જ જાઓ છો.
-
આને ગણિતિક રીતે સમજીએ.....જ્યારે આપણે સઘળા અંતરોનો સરવાળો કરીશું, તો આપણને એક અનંત સરવાળાની શ્રેણી મળશે. જેમકે 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 વગેરે. એ જરૂરી નથી કે કોઇપણ અનંત શ્રેણીનો સરવાળો infinite જ હોય તે finite પણ હોય શકે. જેમકે આપણે total અંતરને D માનીએ કે જે 1 કિ.મી. બરાબર છે, તો જે શ્રેણી આપણને મળશે તે આ પ્રમાણે હશે D=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+.......∞. આને આપણે કહીશું સમીકરણ (1). હવે આ સમીકરણને બંન્ને બાજુ 2 વડે ગુણી નાંખીએ તો જવાબ મળશે....
2D=1+(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+.......∞). હવે કૌંસની અંદરનો જે ભાગ છે તે સમીકરણ (1) છે માટે તેના સ્થાને આપણે D લખી દઇએ તો સમીકરણ થશે 2D=1+D. આને solve કરતા જવાબ મળશે D=1 કે જે મૂળ અંતર 1 કિ.મી. છે. ભલે આ અંતરને કાપવા માટે વ્યક્તિએ infinite પ્રક્રિયામાંથી પસાર થવુ પડ્યું પણ છેવટે તે પોઇન્ટ B ઉપર પહોંચી ગયો. પરંતુ wait.......કોઇપણ infinite શ્રેણીનો છેલ્લો step આપણને મળી જાય તો infinity, infinity નહીં રહે અને આજ તો પેરાડોક્સ છે. આને લઇને ઘણાં ગણિતશાસ્ત્રીઓ વર્ષો સુધી પરેશાન રહ્યાં.
-
અંતે આ પેરાડોક્સનો જવાબ મળ્યો મેક્સ પ્લાન્કના સમીકરણ વડે. જુઓ કઇરીતે.....પહેલાં આપણે માનતા હતાં કે બ્રહ્માંડની સૌથી નાની ચીજ અણુ હોય છે. પરંતુ અણુ કરતાં પણ નાના કણો મળી આવ્યા પ્રોટોન ન્યુટ્રોન વગેરે. ફરી એમનાથી પણ સુક્ષ્મ કણો મળી આવ્યા quarks, Leptons વગેરે. હવે હું તમને પુછુ કે આપ સૌથી નાના કયા અંતર સુધી જઇ શકો? તો એક લંબાઇ હોય છે જેને Planck's Length કહેવામાં આવે છે. જેનું મૂલ્ય છે 1.616255(18)×10−35. આ નાનામાં નાનુ તે અંતર છે જે કોઇ પદાર્થ cover કરી શકે છે. આ અંતર કેટલું સુક્ષ્મ છે તેનો અંદાજો એ વાતે મળી રહે છે કે.....આ અંતર પ્રોટોન કરતાં લગભગ લાખો ઘણું નાનુ છે. આ અંતરથી નાનુ બ્રહ્માંડમાં કોઇ અંતર નથી હોતું. આ પ્રકૃતિની એક સીમા છે.
-
ઉપરોક્ત બંન્ને ઉદાહરણોમાં જ્યારે અંતર ઘટતું-ઘટતું planck's length જેટલું થઇ જાય છે તો તે પોઇન્ટ ઉપર તમે કાચબાથી આગળ નીકળી જાઓ છો. કેમકે planck's length થી ઓછું અંતર nature allow નથી કરતી. આ પેરાડોક્સના નામે 1977 માં Quantum Physics માં એક નવા અધ્યાયનો આવિષ્કાર થયો. જેને Quantum Zeno effect કહેવામા આવે છે.
-
ધારોકે તમારી અને એક કાચબાની હરિફાઇ યોજાય છે. શર્ત એટલી છે કે કાચબો તમારાથી થોડું આગળથી ચાલવાનું શરૂ કરે છે. હવે જ્યારે આપ કાચબાની original position ઉપર પહોંચો છો ત્યારે કાચબો થોડો આગળ વધી જાય છે. ફરી આપ કાચબાના નવા location ઉપર પહોંચો છો ત્યારે કાચબો ફરી થોડો આગળ વધી જાય છે. આજ concept ઉપર જોવા જઇએ તો આપ ક્યારેય કાચબાથી આગળ નીકળી જ નથી શકતાં. આજ વિષયક થોડું અલગ બીજુ એક ઉદાહરણ.....માનીલો બે પોઇન્ટ છે A અને B. બંન્ને વચ્ચેનું અંતર 1 કિ.મી. છે. અગર કોઇ વ્યક્તિએ પોઇન્ટ A થી B સુધી જવું હોય તો સૌપ્રથમ તેણે 1 કિ.મી.નું અડધુ અંતર કાપવું પડશે એટલેકે 1/2 કિ.મી. જેના માટે કેટલોક સમય લાગશે. હવે જ્યારે તે અડધુ અંતર કાપી નાંખશે, તો તેને બાકી રહેલ અંતરનું પણ અડધુ અંતર કાપવું પડશે એટલેકે 1/4 કિ.મી. ફરીથી થોડો સમય લાગશે. આજ ક્રમ આગળ વધતો જશે. આ રીતે જોવા જઇએ તો આ અંતર ક્યારેય ખતમ નથી થતું. આ અંતર infinite થઇ જશે. આપણને અંતરની અનંત શ્રેણી મળશે(જુઓ ઇમેજ). ટૂંકમાં તે વ્યક્તિ ક્યારેય પોઇન્ટ B સુધી પહોંચી જ ન શકે. દરઅસલ તેમણે રસ્તાને infinite નાના અંતરમાં વિભાજીત કરી નાંખ્યો.
-
આવું કહેવું હતું ઝીનોનું. ભલે આપને આ હાસ્યાસ્પદ લાગતું હોય પરંતુ તેઓ ખોટા પણ નહોતા. ગણિતિક રીતે તેઓ બિલકુલ સાચા હતાં. પરંતુ આવું કઇરીતે શક્ય બને? દેખીતુ છે કે વ્યવ્હારિક રીતે થોડા સમય બાદ તે વ્યક્તિ પોઇન્ટ B ઉપર પહોંચી જ જાય છે અને તમે પણ કાચબાથી આગળ નીકળી જ જાઓ છો.
-
આને ગણિતિક રીતે સમજીએ.....જ્યારે આપણે સઘળા અંતરોનો સરવાળો કરીશું, તો આપણને એક અનંત સરવાળાની શ્રેણી મળશે. જેમકે 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 વગેરે. એ જરૂરી નથી કે કોઇપણ અનંત શ્રેણીનો સરવાળો infinite જ હોય તે finite પણ હોય શકે. જેમકે આપણે total અંતરને D માનીએ કે જે 1 કિ.મી. બરાબર છે, તો જે શ્રેણી આપણને મળશે તે આ પ્રમાણે હશે D=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+.......∞. આને આપણે કહીશું સમીકરણ (1). હવે આ સમીકરણને બંન્ને બાજુ 2 વડે ગુણી નાંખીએ તો જવાબ મળશે....
2D=1+(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+.......∞). હવે કૌંસની અંદરનો જે ભાગ છે તે સમીકરણ (1) છે માટે તેના સ્થાને આપણે D લખી દઇએ તો સમીકરણ થશે 2D=1+D. આને solve કરતા જવાબ મળશે D=1 કે જે મૂળ અંતર 1 કિ.મી. છે. ભલે આ અંતરને કાપવા માટે વ્યક્તિએ infinite પ્રક્રિયામાંથી પસાર થવુ પડ્યું પણ છેવટે તે પોઇન્ટ B ઉપર પહોંચી ગયો. પરંતુ wait.......કોઇપણ infinite શ્રેણીનો છેલ્લો step આપણને મળી જાય તો infinity, infinity નહીં રહે અને આજ તો પેરાડોક્સ છે. આને લઇને ઘણાં ગણિતશાસ્ત્રીઓ વર્ષો સુધી પરેશાન રહ્યાં.
-
અંતે આ પેરાડોક્સનો જવાબ મળ્યો મેક્સ પ્લાન્કના સમીકરણ વડે. જુઓ કઇરીતે.....પહેલાં આપણે માનતા હતાં કે બ્રહ્માંડની સૌથી નાની ચીજ અણુ હોય છે. પરંતુ અણુ કરતાં પણ નાના કણો મળી આવ્યા પ્રોટોન ન્યુટ્રોન વગેરે. ફરી એમનાથી પણ સુક્ષ્મ કણો મળી આવ્યા quarks, Leptons વગેરે. હવે હું તમને પુછુ કે આપ સૌથી નાના કયા અંતર સુધી જઇ શકો? તો એક લંબાઇ હોય છે જેને Planck's Length કહેવામાં આવે છે. જેનું મૂલ્ય છે 1.616255(18)×10−35. આ નાનામાં નાનુ તે અંતર છે જે કોઇ પદાર્થ cover કરી શકે છે. આ અંતર કેટલું સુક્ષ્મ છે તેનો અંદાજો એ વાતે મળી રહે છે કે.....આ અંતર પ્રોટોન કરતાં લગભગ લાખો ઘણું નાનુ છે. આ અંતરથી નાનુ બ્રહ્માંડમાં કોઇ અંતર નથી હોતું. આ પ્રકૃતિની એક સીમા છે.
-
ઉપરોક્ત બંન્ને ઉદાહરણોમાં જ્યારે અંતર ઘટતું-ઘટતું planck's length જેટલું થઇ જાય છે તો તે પોઇન્ટ ઉપર તમે કાચબાથી આગળ નીકળી જાઓ છો. કેમકે planck's length થી ઓછું અંતર nature allow નથી કરતી. આ પેરાડોક્સના નામે 1977 માં Quantum Physics માં એક નવા અધ્યાયનો આવિષ્કાર થયો. જેને Quantum Zeno effect કહેવામા આવે છે.
No comments:
Post a Comment