Godel Incompleteness Theorem

 

 Kurt Godel એ બે પ્રમેય દુનિયા સમક્ષ મૂક્યાં કે જે મગજને ગૂંચવી નાંખનારા હતાં. તમે પોતાને એવી સ્થિતિમાં અનુભવશો, જ્યાં તમે નક્કી જ ન કરી શકો કે સાચું શું છે અને ખોટું શું? આ પ્રમેય ફક્ત ગણિત જ નહીં પરંતુ ફિઝિક્સમાં પણ ઘણી જગ્યાએ લાગુ પડે. હાઇઝેનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત પણ આ પ્રમેયની સાબિતી છે. મતલબ તે હર એ વસ્તુ ઉપર લાગુ પડે છે જ્યાં તર્કની વાત થાય છે. ભલે તે ક્ષેત્ર વિજ્ઞાનનું હો, ફિલોસોફીનું હો અથવા ગણિતનું.

-

જેવીરીતે ફિઝિક્સમાં આઇનસ્ટાઇનના કાર્યને ખુબ મહત્વપૂર્ણ માનવામાં આવે છે, એજ પ્રમાણે ગોડેલના કાર્યને પણ ગણિતમાં ખુબજ મહત્વપૂર્ણ માનવામાં આવે છે. ગોડેલે આની શરૂઆત એક વાક્ય સાથે કરી. જેને Liar's paradox તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. એ વાક્ય છે....."I am Lying" અર્થાત હું ખોટું બોલી રહ્યો છું. આ વાક્ય પોતાના માંજ એક વિરોધાભાસ ઉત્પન્ન કરે છે. કેમકે જો હું કહું કે આ વાક્ય સાચું છે, તો એનો મતલબ મેં સાચું કહ્યું. અર્થાત હું ખોટું નથી બોલી રહ્યો પરંતુ વાકય તો કહે છે કે હું ખોટું બોલી રહ્યો છું. હવે માની લો કે આ વાક્ય ખોટું છે, તો તેમાં લખ્યું છે કે હું ખોટું બોલી રહ્યો છું. ટૂંકમાં તમે આ વિરોધાભાસમાંથી બહાર નીકળી જ નહીં શકો. ગણિતમાં જ્યારે તમે નક્કી નહીં કરી શકો કે શું સાચું છે અને શું ખોટું? તે સ્થિતિને અનિશ્ચિતતા કહે છે.

-

ગોડેલ આ સ્થિતિને ગાણિતિકરૂપમાં ગોઠવવા માંગતા હતાં અને જ્યારે તેમણે આ કર્યું ત્યારે સઘળું ગણિત હચમચી ઉઠ્યું. ગણિતના મૂળભૂત નિયમો કે જે વૈશ્વિક રીતે સ્વીકૃત છે તેને આપણે axiom(સ્વયંપ્રમાણિત સિદ્ધાંત) કહીએ છીએ. જેમકે સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર વગેરે. જેની ઉપર સઘળું ગણિત ટક્યું છે અને એના આધારે બધી થીઅરીઓ ઘડાય છે. ટૂંકમાં અહીં એવું પ્રતિત થાય છે કે ગણિત એક સંપૂર્ણ વિષય છે પરંતુ આપણો આ ભ્રમ ગોડેલના પ્રમયે ખંડિત કરી નાંખ્યો. તેમણે કહ્યું કે ભલે axiom ગણિતનો પાયો હોય પરંતુ તેઓ પણ હજુ સંપૂર્ણ નથી. તેમાં પણ અપૂર્ણતા છે. આ સિદ્ઘાંતો પોતાની consistency ને સિધ્ધ નથી કરી શકતાં. મતલબ કોઇપણ closed(બંધ) system....ધ્યાનથી વાંચો....કોઇપણ closed system ને તમે ગમે તેટલું સાચું બનાવો પરંતુ તેમાં હંમેશા અનિશ્ચિતતા રહી જ જાય છે.

-

સૌપ્રથમ સંક્ષિપ્તમાં જોઇ લઇએ કે તેમના પ્રમેય શું કહે છે. તેમણે બે પ્રમેય આપ્યાં. (1) જો તમારી પાસે કોઇ સુસંગત લોજીકલ સિસ્ટમ છે જેમાં કોઇ વિરોધાભાસ ન હો, જેમાં અંકગણિતના operations આસાનીથી થઇ શકે છે, તો તે સિસ્ટમમાં કેટલીક એવી statement પણ મૌજૂદ હશે જ જેને તમે તેના નિયમો વડે સિધ્ધ નહીં કરી શકો. તેને સિધ્ધ કરવા માટે તમારે નવા નિયમ બનાવવા પડશે. (2) જ્યાંસુધી તમે તે સિસ્ટમની અંદર મૌજૂદ હો ત્યાંસુધી તમે તે સિસ્ટમની consistency ને સિધ્ધ નથી કરી શકતાં. consistency ને સિધ્ધ કરવા માટે તમારે તે સિસ્ટમની બહાર આવવું પડશે. આને થોડાં ઉદાહરણો વડે સમજીએ..

-

આપણે જાણીએ છીએ કે બે વત્તા બે બરાબર ચાર(2+2=4) થાય છે. આ એક સત્ય(axiom) છે. જેને તમે સિધ્ધ કરી શકો છો. આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે બે વત્તા બે બરાબર પાંચ(2+2≠5) નથી થતાં. આ ખોટું છે પરંતુ તમે આને સિધ્ધ નહીં કરી શકો. અર્થાત આ ગાણિતિક સત્યમાં એક એવી statement છુપાયેલી હતી જેને આપણે સિધ્ધ નથી કરી શકતાં. તેને સિધ્ધ કરવા માટે આપણે કેટલાંક નવા નિયમ બનાવવા પડશે. પરંતુ....તે નવા નિયમ બનવાની સાથે જ એક બીજી નવી statement ઉભી થઇ જશે. જેમકે 2+2≠8. આપ કેટલાં નિયમો બનાવશો? આ રીતે તો ગણિત ખુબજ જટિલ બની જશે. તો જેમ આપણે 2+2≠5 ને ખોટું સાબિત નથી કરી શકતાં એજ રીતે 2+2=5 ને પણ ખોટું સાબિત નથી કરી શકતાં. આ એક liar paradox થઇ ગયો. મતલબ અહીં અપૂર્ણતા છે. આ અપૂર્ણતાને પૂર્ણ કરવા માટે આપણે આ સિસ્ટમની બહાર આવવું પડશે. અર્થાત આપણે આપણાં ગણિત બહાર(beyond) નું વિચારવું પડશે.

-

એજ રીતે ગણિતમાં આપણે માનીએ છીએ કે બે સમાંતર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને નથી છેદતી. બીજી રીતે આપણે કહી શકીએ છીએ કે તેઓ infinity(અનંતતા) ઉપર એકબીજાને મળે છે. આ પણ એક વિરોધાભાસ છે. બની શકે કે તે રેખાઓ infinity ઉપર પણ નહીં મળે અથવા બની શકે કે infinity ઉપર મળી જાય. પરંતુ આપણે આ જાણવા માટે infinity ની બહાર જવું પડશે અને અનંતતાની બહાર કઇરીતે જવું? એક અન્ય દ્રષ્ટાંત....આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રકાશગતિથી વધુ ઝડપ બ્રહ્માંડમાં અશક્ય છે. પ્રકાશની ગતિ શૂન્યાવકાશ(vacuum) માં અચલ(3 લાખ કિ.મી/સેકન્ડ) હોય છે. પરંતુ incompleteness theorem અનુસાર આ કથન અપૂર્ણ છે. કેમકે vacuum ની અંદર રહીને આપણે તેની consistency ને સિધ્ધ નથી કરી શકતાં. આને તપાસવા માટે આપણે vacuum ની બહાર જવું પડશે અને vacuum તો સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં મૌજૂદ છે. ટૂંકમાં આપણે બ્રહ્માંડની બહાર જવું પડે કે જે આપણાં માટે ફિલહાલ અશક્ય છે.

 

(કે. રોબિન દ્વારા)